证明 设k>0手机TG汉化版，根据三角形三角恒等式:
tg(B/2)*tg(C/2)+tg(C/2)*tg(A/2)+tg(A/2)*tg(B/2)=1
则有
tg(B/2)*tg(C/2)+k+tg(C/2)*tg(A/2)+k+tg(A/2)*tg(B/2)+k=1+3k
再由均值不等式:
(√x+√y+√z)^2≤3*(x+y+z) (1)
令x=tg(B/2)*tg(C/2)+k,y=tg(C/2)*tg(A/2)+k,z=tg(A/2)*tg(B/2)+k手机TG汉化版，将其代入(1)式得:
{√[tg(B/2)*tg(C/2)+k]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+k]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+k]}^2≤3[tg(B/2)*tg(C/2)+tg(C/2)*tg(A/2)+tg(A/2)*tg(B/2)+3k]=3*(1+3k),
所以得:
√[tg(B/2)*tg(C/2)+k]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+k]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+k]≤√[3*(1+3k)] (2)
在(2)式中取k=16，即得所证不等式手机TG汉化版。
证完手机TG汉化版。
手机TG汉化版。
问题 在三角形ABC中手机TG汉化版，求证
√[tg(B/2)*tg(C/2)+16]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+16]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+16]≤7√3 .
此命题与一般中学竞赛参考书上有点不同手机TG汉化版，原命题为:
√[tg(B/2)*tg(C/2)+5]+√[tg(C/2)*tg(A/2)+5]+√[tg(A/2)*tg(B/2)+5]≤4√3 .
所提命题是原创题，此命题是一中学老师提出的手机TG汉化版。曾有人证明。
楼上两位证明都正确手机TG汉化版。二楼的证明更一般。
首先我们有
tg(B/2)*tg(C/2)+tg(C/2)*tg(A/2)+tg(A/2)*tg(B/2)=1手机TG汉化版。。。。(1)
这个证明很简单：tan(C/2)=cot(A/2+B/2)=[1-tan(A/2)(tan(B/2)]/[tan(A/2)+tan(B/2)],两边乘tan(A/2)+tan(B/2),化简即得(1)手机TG汉化版。
根据均值不等式M_(1/2)(a,b,c)
